documentation de référence sur équivalent

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ÉQUIVALENT, ENTE (adj.)

1. Qui équivaut, qui est de même valeur. Rendre un service équivalent à celui que l'on a reçu.

2. Terme de géométrie. Il se dit des surfaces ou des volumes qui ont les mêmes contenances sans avoir les mêmes formes. Triangle équivalent à un quadrilatère. Le problème de la quadrature du cercle consiste à trouver un carré équivalent à un cercle.

3. S. m. Ce qui équivaut. On lui offrit l'équivalent. Cette proposition est l'équivalent de cette autre. Ce mot latin n'a pas d'équivalent en français.

• Elle lui confia son goût pour le jeune mage, et l'assura que dans toutes les maisons de Persépolis il trouverait l'équivalent de ce qu'il avait vu dans la sienne (VOLT. Babouc.)

• Quel peut être l'équivalent de la perte du nom de juste ? (RAYNAL Hist. phil. IV, 33)

Terme de chimie. Nom donné à des quantités matérielles qui peuvent, dans les combinaisons, se remplacer de manière que l'une d'elles représente telle ou telle autre, et conduise à en apprécier le poids. On rapporte les équivalents à une unité de convention, qui est de 100 d'oxygène pour les chimistes français, et 1 d'hydrogène pour les chimistes anglais.

Équivalent d'un engrais, la quantité de cet engrais qui, pour une égale superficie de terrain, un hectare par exemple, équivaudrait, quant aux proportions de l'azote et des phosphates, à la quantité moyenne du fumier de ferme employé annuellement.

ÉTYMOLOGIE

Équivaloir ; provenç. equivalent ; espagn. et ital. equivalente.

SUPPLÉMENT AU DICTIONNAIRE

ÉQUIVALENT. Ajoutez :

4. à l'équivalent, d'une manière équivalente.

• La masse des profits et des salaires de nos usines, que les admissions libres [d'objets importés] alimentent, est de beaucoup supérieure aux pertes qu'elles peuvent faire subir à quelques producteurs que la force des choses combat bien plus dangereusement encore que la liberté de l'admission à l'équivalent (P. BOITEAU Journ. des Débats, 2 mai 1876, 3e page, 5e col.)

ÉQUIVALOIR

1. Être de même prix, de même valeur. Une once d'or équivaut à quinze onces d'argent.

2. Par extension, être à peu près la même chose que. Cette réponse aurait équivalu à un refus.

Il se conjugue avec l'auxiliaire avoir. Dans le langage vulgaire, on fait quelquefois équivaloir actif : cette chose équivaut telle autre ; c'est une grosse faute. L'Académie dit qu'il se conjugue comme valoir ; par conséquent il ne suit pas les irrégularités de prévaloir.

ÉTYMOLOGIE

Équi.... et valoir.

Équivalent

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir équivalence.

La notion d'équivalence permet de dire précisément et « mathématiquement » quand deux fonctions ou deux suites ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.

Une fois cet outil connu, se pose le problème du calcul des équivalents qui est d'une grande aide pour le calcul des développements asymptotiques, dont un cas particulier est le calcul des développements limités.

Pour bien s'en sortir dans ce travail, il faut bien savoir quelles opérations sur les équivalents sont permises et quelles autres sont interdites.

Sommaire

1 L'équivalence pour les suites
- 1.1 Définition
- 1.2 Cas particulier plus simple
- 1.3 Autre formulation
- 1.4 Propriétés
- 1.5 Opérations sur les équivalents
- 1.6 Exemples
- 1.7 Remarque
2 L'équivalence pour les fonctions
- 2.1 Définition élémentaire
- 2.2 Définition plus savante
  - 2.2.1 Remarques
- 2.3 Propriétés
- 2.4 Opérations sur les équivalents
3 Voir aussi

L'équivalence pour les suites

Définition

Soient $u n$ et $v n$ deux suites à valeurs dans un même espace vectoriel normé $E$ ou, si l'on veut, pour être moins général, dans un corps $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ), c'est d'ailleurs ce cas, le moins général, qui est le plus courant et le plus utile.

On dit que $u n$ et $v n$ sont équivalentes si et seulement si, $u n - v n$ est négligeable devant $v n$ , ou, ce qui revient au même, $v n - u n$ négligeable devant $u n$ .

Une définition équivalente peut être : il existe une suite $\varepsilon_n$ (à valeurs K=R ou C selon le contexte), définie à partir d'un certain rang, qui tende vers zéro et vérifie $u_n=(1+\varepsilon_n)v_n$ .

On note alors $u_n\sim v_n$ .

Cas particulier plus simple

Dans le cas particulier où la suite $u n$ (par exemple) ne s'annule pas à partir d'un certain rang, les suites $u n$ et $v n$ sont équivalentes si, et seulement si, $\frac{v_n}{u_n}\longrightarrow 1$ quand $n \rightarrow +\infty$ .

Pour le démontrer, il suffit de l'écrire.

Autre formulation

On peut formuler les choses autrement : deux suites $u n$ et $v n$ sont équivalentes si, et seulement si, on a $u n = v n + o (v n)$ (en utilisant la notation petit "o").

Pour le démontrer, il suffit de l'écrire.

Propriétés

La relation "être équivalent à" est une relation d'équivalence.
Si $u n$ converge vers $l\neq 0$ , alors, elle est équivalente à la suite constante égale à $l$ .

Opérations sur les équivalents

Voir l'article Opérations sur les équivalents.

Exemples

Connaissez-vous l'équivalent de la somme partielle d'ordre n de la série harmonique ?
Un équivalent célèbre est la formule de Stirling : $n\,!\sim \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n$ .
Soit $π$ la suite dont le n-ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$ . Le théorème des nombres premiers, qui est un résultat difficile, affirme que $\pi(n) \sim \frac{n}{\ln n}$ .

Remarque

On peut voir l'équivalence pour les suites comme un cas particulier de l'équivalence pour les fonctions.

L'équivalence pour les fonctions

Définition élémentaire

Soient $I$ une partie de $\mathbb{R}$ , $a$ un point de l'adhérence de $I$ , $f$ et $g$ des applications de $I$ vers $\mathbb{R}$ , $g$ non nulle au voisinage de $a$ .

Exemples de données

On dit que $f$ est équivalent à $g$ au voisinage de $a$ si et seulement si $\lim_a \frac{f}{g} = 1$ .

On écrit alors $f\sim g$ qui se lit « $f$ est équivalent à $g$ ». S'il y a une ambiguïté sur le point a qu'on considère, on utilise la notation plus précise : $f\sim_a g$

Définition plus savante

Soit $X$ un espace topologique, soit $A$ une sous-partie de $X$ . Soit $a \in \overline{A}$ un élément de $X$ adhérent à $A$ . Cet espace est l'espace de départ des fonctions qu'on va étudier. En quelque sorte, c'est l'espace des paramètres.

Soit $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ , muni de sa valeur absolue usuelle. Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel normé, appelé à être l'espace des valeurs de nos fonctions.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $A$ dans $E$ .

On dit que $f$ et $g$ sont équivalentes en $a$ et on note $f\sim_a g$ si et seulement si, il existe un voisinage $V$ de $a$ dans $A \cup \{ a\}$ et une fonction $\varepsilon$ définie sur $V$ tels que :

$\lim_a \varepsilon = 0$
$\forall x\in V\setminus \{a\}, f(x)=(1+\varepsilon(x))g(x)$

Remarques

Si on veut être encore plus complet, on peut se placer dans le cadre des corps valués ou des espaces vectoriels topologiques au-dessus d'un corps valué.
La définition précédente est plus naturelle et s'exprime mieux dans le cadre des espaces de germes de fonctions.

Propriétés

La relation $\sim$ est une relation d'équivalence.

$f \sim_a g \Rightarrow \exists V \in \mathcal{V}(a) | \forall x \in V\ \frac{f(x)}{g(x)} > 0$ , où $\mathcal{V}(a)$ représente l'ensemble des voisinages de a.

En particulier, f et g ont même signe localement autour de a.

Si f ~ g au voisinage de a et que $\lim_{a}f = l, l \in \overline {\mathbb R}$ , alors $\lim_{a}g=l$ : deux fonctions équivalentes en a y ont la même limite.

Opérations sur les équivalents

Voir l'article Opérations sur les équivalents.

Voir aussi

Négligeable

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../%C3%A9/q/u/%C3%89quivalent.html »

Catégorie : Analyse réelle

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