• Concluons-nous qu'un ouvrage de peinture est fait par le hasard, quand on y remarque des ombres ou même quelque négligement du pinceau ? (FÉN. Exist. I, 89)

ÉTYMOLOGIE

Négliger.

SUPPLÉMENT AU DICTIONNAIRE

NÉGLIGEABLE.

On trouve aussi négligible. Une quantité négligible, STE-BEUVE, Port-Royal, t. III, p. 414, 3e éd. Négligeable est plus usité ; mais négligible n'est pas incorrect, puisqu'on a exigible d'exiger ; mais négligible est tout à fait inutile à côté de négligeable.

Wikipedia

Négligeable

Ne pas confondre avec Ensemble négligeable en théorie de la mesure

En mathématiques, la notion de négligeabilité exprime le fait qu'une fonction numérique « l'emporte » localement sur une autre. On dit que la deuxième fonction est négligeable devant la première.

En physique, une quantité l'est par rapport à une autre si ses effets le sont par rapport à ceux de l'autre. Par exemple, la masse d'une fourmi est négligeable devant celle d'un l'éléphant, et la masse de l'ensemble peut être assimilée à celle du pachyderme.

Sommaire

1 Définition en mathématiques
2 Propriétés
3 Échelle de comparaison
- 3.1 Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle
  - 3.1.1 Définition
  - 3.1.2 Propriétés
4 Comparaison pour les suites
- 4.1 Définition
- 4.2 Proposition équivalente
5 Voir aussi

Définition en mathématiques

Soient $I$ une partie de $\R$ , a un point de l'adhérence de $I$ , $f$ et $g$ des applications de $I$ vers $\R$

Lorsque a est réel, on dit que $f$ est négligeable devant $g$ (ou que $g$ est prépondérante devant $f$ ) au voisinage de a si et seulement si :

$\forall\varepsilon >0,\,\exists \eta>0,\,x\in]a-\eta,a+\eta[\cap I\Rightarrow\,\left|f(x)\right| \le \varepsilon\,\left|g(x)\right|$

Dans le cas où a est égal à $+\infty$ , on dit que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de a si et seulement si :

$\forall\varepsilon >0,\,\exists A>0,\,x\in[A,+\infty[\cap I\Rightarrow\,\left|f(x)\right| \le \varepsilon\,\left|g(x)\right|$

Une définition équivalente et plus utile en pratique pour montrer qu'une fonction l'emporte sur l'autre au voisinage d'un point a est, dans le cas où $g$ est (sauf peut-être en a) non nulle sur un voisinage de a: $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de a si et seulement si :

$\lim_{x\rightarrow a, x\not=a}{f(x) \over g(x)} = 0$

On écrit alors $f =_{a} o(g)$ qui se lit « f est un petit o de g au voisinage de a ». C'est une des notations de Landau.

Propriétés

Si $f_1=_a o(g)\,$ et $f_2=_a o(g)\,$ alors pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ , $\alpha\,f_1 + \beta\,f_2=_a o(g)\,$
Si $f_1=_a o(g_1)\,$ et $f_2=_a o(g_2)\,$ alors $f_1 . f_2=_a o(g_1.g_2)\,$
Si $f=_a o(g)\,$ et $h\,$ bornée au voisinage de a alors $h.f=_a o(g)\,$
Si $f_1 =_a o(g)\,$ et $f_2 =_a o(f_1)\,$ alors $f_2 =_a o(g)\,$ (transitivité)
$f \sim_a g \Leftrightarrow f - g =_a o(g) \Leftrightarrow f =_a g + o(g)$

Échelle de comparaison

Une échelle de comparaison $E_a$ est une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a) telle que:
$\forall (f,g) \in {E_a}^2,\, f\ne g\ \Rightarrow (f=_a o(g)\ \mathrm{ou} \ g=_a o(f))\,$

Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle

Définition

Soient une fonction $f\,$ définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a), ne s'annulant pas sur $V-\{a\}\,$ , $E_a\,$ une échelle de comparaison en a. On dit que $f\,$ admet la fonction $g \in E_a\,$ comme partie principale par rapport à l'échelle $E_a\,$ si et seulement s'il existe un réel A non nul tel que $f \sim_a A.g$ (ou $f =_a A.g + o(g)$ ).

Propriétés

Unicité en cas d'existence
Soient $f_1\,$ et $f_2\,$ admettant respectivement $g_1\,$ et $g_2\,$ comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison $E_a\,$ . La partie principale de $f_1.f_2\,$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_a\,$ est la fonction $g_1.g_2\,$
Soient $f_1\,$ et $f_2\,$ admettant respectivement $g_1\,$ et $g_2\,$ comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison $E_a\,$ .

Si $g_1 =_a o(g_2)\,$ alors $g_2\,$ est la partie principale de $f_1 + f_2\,$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_a\,$ .
Si $g_2 =_a o(g_1)\,$ alors $g_1\,$ est la partie principale de $f_1 + f_2\,$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_a\,$ .
Si $g_1 = g_2\,$ et que $A_1 + A_2 \ne 0\,$ alors $g_1\,$ est la partie principale de $f_1 + f_2\,$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_a\,$ .

Comparaison pour les suites

Définition

Une suite $(u_n)\,$ de nombres réels est dite négligeable devant une suite réelle $(v_n)\,$ lorsque :

$\forall\varepsilon >0,\,\exists N\in\N,\,n\ge N\,\Rightarrow\,u_n\le \varepsilon\,v_n$

Une définition équivalente : une suite $(u_n)\,$ de nombres réels est dite négligeable devant une suite réelle $(v_n)\,$ lorsqu'il existe une suite $(\varepsilon_n)_{n\geq N_0}\,$ de limite nulle tel que:

$\forall n\geq N_0,\qquad u_n=\varepsilon_nv_n\,$

On note: $u_n=o(v_n)\,$

Proposition équivalente

Une définition plus utile en pratique pour montrer qu'une suite est négligeable devant une autre est :

$u_n=o(v_n) \Leftrightarrow \lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}=0 \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N},n \geq N \Rightarrow |u_n| \leq \varepsilon |v_n|$

Voir aussi

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