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Le platonisme mathématique ou « réalisme en mathématiques » est une théorie épistémologique selon laquelle les entités mathématiques (nombres, figures géométriques, etc.) ont une existence indépendante. Ce ne sont pas de vulgaires abstractions tirées du monde sensible (connu par les sens), ni de pures conventions, ni de simples instruments, mais des êtres jouissant d'une vie propre, comme les Idées de Platon ou même comme les êtres physiques.

Platon dans son enseignement oral (vers 350 av. J.-C. ?) :

« Outre les choses sensibles et les Idées, Platon admet qu'il existe les Choses mathématiques [Nombres, Lignes, Surfaces, Solides], qui sont des réalités intermédiaires (metaxu), différentes, d'une part, des Choses sensibles, en ce qu'elles sont éternelles et immobiles, et, d'autre part, des Idées, en ce qu'elles sont une pluralité d'exemplaires semblables, tandis que l'Idée est en elle-même une réalité une, individuelle et singulière. »

— Aristote, Métaphysique, A, 6 ; B 1 ; K, 1 ; M, 1)

Charles Hermite :

« Je vous ferais bondir, si j'osais vous avouer que je n'admets aucune solution de continuité, aucune coupure entre les mathématiques et la physique, et que les nombres entiers me semblent exister en dehors de nous et en s'imposant avec la même nécessité, la même fatalité que le sodium, le potassium, etc. »

— Correspondance avec Stieltjes, janv. 1889, Paris, éd. Gauthier-Villars, 1905, t. I, p. 332

Albert Lautman :

« La réalité inhérente aux théories mathématiques leur vient de ce qu'elles participent à une réalité idéale qui est dominatrice par rapport à la mathématique, mais qui n'est connaissable qu'à travers elle. »

— Communication au IX^e Congrès international de philosophie, Paris, 1937, VI, p. 143. Actualités, n° 535, 1937

Analyse critique de Jacques Bouveresse :

« Comme le souligne Jacques Bouveresse dans son allocution « Sur le sens du mot « platonisme » dans l’expression « platonisme mathématique » » prononcée lors de la conférence du 19 novembre 1998 à l’Université de Genève, [on observe] un « flottement terminologique » autour de ce terme, dont il ne s’agit certes pas de reconstituer l’histoire mais dont il est utile de distinguer les différents sens. Le sens généralement accepté est celui d’une option philosophique qui consiste à considérer – avec Platon – les objets mathématiques comme indépendants de notre activité de pensée et de connaissance. Avant Bernays, des penseurs comme Fraenkel et Heinrich Scholz ont réfléchi à ce platonisme mathématique, mais c’est surtout Poincaré qui a initié ce débat, en opposant les Cantoriens et les Pragmatistes (les premiers seraient platoniciens, ce que considère aussi Paul Bernays). Un des problèmes fondamentaux, qui est tout à fait mis en évidence dans l’article de Bernays, est la tendance actuelle à considérer comme un synonyme l’expression « réalisme mathématique ». Pour Bouveresse donc, platonisme signifie un sens fort de réalisme, il affirme « l’indépendance des êtres mathématiques non seulement par rapport aux formes a priori de la sensibilité et a fortiori par rapport aux données de la connaissance sensible en général, mais également par rapport à l’intellect, y compris, pour ceux qui veulent être tout à fait cohérents, par rapport à un intellect divin ». Ce que fait ainsi ressortir Bouveresse, c’est l’exigence qu’une telle position philosophique recèle. De plus, il désigne deux types de problèmes que Bernays aborde tous deux et qui nous donneront une piste pour analyser sa position : un problème de type métaphysique, et plus précisément ontologique, concernant le mode d’existence des objets mathématiques (les objets mathématiques ont-ils oui ou non une existence qui est indépendante des opérations mentales par lesquelles nous réussissons à les atteindre ?) ; et un problème de type épistémologique, concernant le statut que la mathématique, dans sa pratique, donne à ses objets (de quels moyens disposons-nous réellement pour réussir à identifier les objets mathématiques et quels sont les objets mathématiques que nous pouvons espérer atteindre par ces moyens ?). »

  Bibliographie

• Paul Bernays (avec David Hilbert), Grundlagen der Mathematik, I-II, Berlin, 1934/1939.
• Albert Lautman, Essai sur les notions de structure et d'existence en mathématiques, 1938. Actualités, n° 591, 1938.
• Marie-Dominique Richard, L'enseignement oral de Platon, Cerf, 1986.

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