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En mathématiques, lorsque nous choisissons k objets parmi n objets discernables (numérotés de 1 à n) et que l’ordre dans lequel les objets sont placés (ou énumérés) n’a pas d’importance, nous pouvons les représenter par un ensemble à k éléments. Par exemple, quand nous tirons simultanément plusieurs cartes dans un jeu de cartes, nous obtenons une main et la place des cartes dans la main n’importe pas ; ou au jeu du loto, le tirage final ne dépend pas de l’ordre d’apparition des boules obtenues.

Soient E un ensemble fini de cardinal n et k un entier naturel. Les combinaisons de cet ensemble sont ses sous-ensembles (ou ses parties). Une k-combinaison de E (ou k-combinaison sans répétition de E, ou encore combinaison sans répétition de n éléments pris k à k) est une partie à k éléments de E.

Nous notons l’ensemble des k-combinaisons de E.

L’ensemble des combinaisons à k éléments de E, est fini et son cardinal se note traditionnellement en France , mais de plus en plus comme dans les autres pays, et , où est le nombre de k-arrangements de E.
Si k≤n alors qui peut aussi s'écrire alors :

Démonstration :

• Si k=0 alors il n’y a qu’une seule partie à 0 élément, l’ensemble vide, donc . Mais et 0!=1 d’où l’égalité.
• Si k>n alors il n’existe pas de partie à k éléments dans un ensemble à n éléments, donc et comme , la formule est vérifiée.
• Si 1≤k≤n alors nous définissons sur l’ensemble des arrangements sans répétitions de E (ou des k-listes distinctes de E) une relation d’équivalence :

Deux arrangements sont équivalents, s’il existe une permutation à k éléments qui envoie l’un sur l’autre.
Deux arrangements sont alors équivalents si et seulement s’ils correspondent à la même partie à k éléments de E. Une classe d’équivalence est alors une combinaison et il y a autant de classes que de combinaisons. Mais chaque classe contient k! arrangements qui sont en relation ; d’après la réciproque du lemme des bergers il y a donc classes ou combinaisons.

Voir aussi

Liens internes

• Coefficient binomial
• Combinatoire
• Combinaison avec répétition
• Arrangement
• Arrangement avec répétition
• Permutation
• Permutation avec répétition

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