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définition - courbe

courbe (adj.)

1.qui n'est pas droit et ne contient pas d'angles.

courbe (n.f.)

1.ligne courbe.

courbé (adj.)

1.rendu ou devenu courbe.

courbe

1.(Cismef)Ligne décrivant un segment de cercle.

2.(Cismef)Représentation graphique des phases successives d'un phénomène au moyen d'une ligne dont les points indiquent des valeurs variables.

courbe (n.)

1.partie courbe du tracé d'une route.

courber (v. intr.)

1.ployer.

courber (v. trans.)

1.rendre courbe.

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synonymes - courbe

courbe (adj.)

courbé, sinueux, voûté

courbe (n.)

boucle, virage

courbé (adj.)

courbe, sinueux

courbé (n.)

arqué

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voir aussi

courbé (adj.)

tortueusement droit, droite

courbe (adj.)

courber, fléchir, incurver droit, droite

courber (v. trans.)

courbage, courbement, courbure courbe, voûté

courber (v. intr.)

courbage, courbement courbe, voûté

locutions

-ASC (Aire Sous la Courbe) • Aire sous la courbe • Courbe ROC • SSC (Surface Sous la Courbe) • Surface sous la courbe • arc de courbe • arneth (courbe d') • bois courbé • chose courbe • contre-courbe • courbe caractéristique • courbe caractéristique d'un convertisseur • courbe cotidale • courbe d'erreur de Gauss • courbe d'isovaleur • courbe de Cot • courbe de Gauss • courbe de Gausse • courbe de Gini • courbe de La Place-Gauss • courbe de Laffer • courbe de Laplace • courbe de Laplace-Gauss • courbe de danger • courbe de directivité • courbe de fréquence • courbe de niveau • courbe de puissance • courbe de rendement • courbe de régression • courbe des erreurs • courbe en chapeau de gendarme • courbe en cloche • courbe fermée • courbe gauche • courbe gaussienne • courbe isodébit • courbe multimodale • courbe normale • courbe plane • courbe sensitométrique • courbe tangente • courbe à double courbure • damoiseau (courbe de) • développante d'une courbe • faire une courbe • la Courbe • ligne courbe • ligne courbe isobathe • ménothermique (courbe) • price-jones (courbe de) • spee (courbe de) • wunderlich (courbe de) • élément courbe pour citerne

-Aire sous la courbe • Ajustement de courbe • Château de la Courbe de Brée • Courbe algébrique • Courbe algébrique réelle plane • Courbe brachistochrone • Courbe cubique • Courbe cycloïdale • Courbe d'analyse thermique • Courbe d'apprentissage • Courbe d'indifférence • Courbe d'ébullition • Courbe de Beveridge • Courbe de Bézier • Courbe de Gosper • Courbe de Hilbert • Courbe de Kuznets • Courbe de Laffer • Courbe de Lissajous • Courbe de Lorenz • Courbe de Peano • Courbe de Phillips • Courbe de Stribeck • Courbe de Wöhler • Courbe de fusion en PCR en temps réel • Courbe de largeur constante • Courbe de lumière • Courbe de niveau • Courbe de puissance moteur • Courbe de refroidissement • Courbe de réflectance • Courbe de température • Courbe de visibilité • Courbe des aires • Courbe des taux • Courbe du diable • Courbe du dragon • Courbe développante • Courbe elliptique • Courbe en J • Courbe fermée • Courbe force course • Courbe isosonique • Courbe modulaire • Courbe plane • Courbe pseudoholomorphe • Courbe quadrique • Courbe quartique • Courbe quintique • Courbe sextique • Courbe tautochrone • Courbe tracée sur une surface • Deltoïde (courbe) • Dépouillement d'une courbe • Factorisation en courbe elliptique de Lenstra • Fonction courbe • La Courbe • Le Grand Courbe • Moqueur à bec courbe • Pointe à dos courbe

dictionnaire analogique

 

racine MESH[Thème]

courbe [Cismef]


courbe, courbé[ClasseHyper.]

qualificatif d'arc et voûte[DomaineDescription]

maladroit[Similaire]

courbe (adj.)


indirect[Classe...]

qualificatif d'un tir à l'arme à feu[DomaineDescription]

courbe (adj.)





 

ligne[Classe]

chose courbe[ClasseParExt.]

ligne courbe[ClasseHyper.]

courbe (n. f.)








 

qualificatif de forme[Classe...]

qui est J[Classe...]

se dit de qqch[Classe...]

forme courbe[Thème]

bas[Thème]

arc et voûte (architecture)[Thème]

courbe, courbé[ClasseHyper.]

qui est baissé[Classe]

qualificatif d'arc et voûte[DomaineDescription]

courbé (adj.)






 

devenir d'une certaine forme[Classe...]

courbe, courbé[ClasseHyper.]

forme courbe[Thème]

qualificatif d'arc et voûte[DomaineDescription]

maladroit[Similaire]

courbe, voûté[Devenir+Attrib.]

courber (v. intr.) [V]


courber (v. pron.) [se+V]


 

montrer du respect[Classe]

obéir[Classe]

adopter une attitude corporelle[Classe...]

se montrer poli[Classe]

saluer[Thème]

prier[DomaineCollocation]

courber (v. pron.) [se+V]


obéir[Classe]

courber (v. pron.) [figuré] [se+V]


courber (v. pron.) [se+V]


 

forme courbe[Thème]

être courbe[Classe]

courber (v. pron.)








Le Littré (1880)

COURBE (adj.)[kour-b']

1. Qui est en forme d'arc ou de sinuosité ; ou, suivant la définition géométrique, qui n'est ni droit ni composé de lignes droites. Une ligne courbe. Une surface courbe.

Encore que son mouvement se fasse en ligne courbe (DESC. Monde, 7)

Le même bâton qui me paraît droit dans l'air me paraît courbe dans l'eau (BOSSUET Conn. de Dieu, III, 8)

Et ses sonores espingoles Et son courbe damas (V. HUGO Orient. 21)

2. S. f. Terme de géométrie. Ligne courbe. Décrire une courbe. La courbe que décrit la terre autour du soleil.

Toutes les courbes peuvent passer pour des suites infinies de lignes droites infiniment petites (FONTEN. Bernoulli.)

Un géomètre ne doit pas être moins glorieux d'avoir donné son nom à une courbe ou à une espèce entière de courbes qu'un prince d'avoir donné le sien à une ville (FONTEN. Tschirnhaus.)

Quelle est la courbe suivant laquelle un vaisseau doit être taillé pour être le meilleur voilier qu'il soit possible ? (MONTESQ. Lett. pers. 97)

Nous ne sommes point nés pour mesurer des courbes (VOLT. Lettr. Prusse, 19)

Alors, pour lui donner une idée de la géométrie des courbes, on lui fit lire un traité fort élémentaire des sections coniques ; et, quand il eut acquis ces notions, il entendit sans effort le livre de M. Trabaud sur le mouvement et sur l'équilibre (CONDILLAC Gramm. Motif des études, Oeuvres, t. V, p. CXLVII, dans POUGENS.)

Après trois ans d'étude, âgé seulement de dix-sept ans, il donna une nouvelle solution du problème de la courbe d'égale pression dans un milieu résistant (CONDORCET d'Arci.)

Mais sur d'heureux contours glissant avec mollesse, D'une courbe facile elle aime la souplesse (DELILLE Imagin. III)

Courbes algébriques, courbes dont l'équation ne contient que des fonctions algébriques, par opposition à courbes mécaniques ou transcendantes.

On a donné le nom de courbes géométriques à celles dont on a su mesurer exactement la marche ; mais lorsque l'expression ou l'échelle de cette marche s'est refusée à cette exactitude, les courbes se sont appelées courbes mécaniques (BUFF. Homme, Arithm. morale.)

3. Terme d'architecture. Courbe rampante, se dit du limon courbe d'un escalier.

Les courbes, en charpenterie, sont des pièces de bois coupées en arc.

Terme de marine. Courbe de capucine, celle qui lie en partie l'étrave avec l'éperon.

Courbes d'écubier, deux pièces de bois larges et épaisses qui joignent l'étrave l'une à droite, l'autre à gauche. Pièces de fer analogues aux courbes en bois ou qui les suppléent.

4. Crossettes de la vigne.

5. Terme de vétérinaire. Tumeur osseuse, située en dedans du jarret, sur l'extrémité inférieure et interne du tibia.

6. Sur les rivières, une courbe de chevaux, deux chevaux accouplés qui tirent les bateaux.

HISTORIQUE

XIIIe s.Et quant à point se sentira, Et par les rues s'en ira, Si soit de beles aleüres, Non pas trop moles ne trop dures, Trop eslevées, ne trop corbes, Mais bien plesans en toutes torbes (la Rose, 13739)Mès certes je ai si grant fain Que tote en ai corbe l'eschine (Ren. 10519)

XIVe s.L'escuier dont je di n'i fist arrestement, Print un courbe coutel qui tranchoit roidement, Pietre trancha le chief, voiant toute la gent (Guesclin. 16822)Le concave et le curve d'une ligne circulaire (ORESME Eth. 30)La gielle [sorte d'engin] doit estre ung peu courbe devers le gros bout (Modus, f° CXXIII, verso)

XVIe s.L'ame qui est triste à cause de la grandeur du mal et qui chemine courbe et foible et les yeux defaillants, et l'ame qui a faim, te donnera gloire et justice (CALVIN 99)Cette charge tient l'esprit courbe [affaissé] et croupy (MONT. I, 139)Un aviron droict semble courbe en l'eau (MONT. I, 319)Pour dresser un bois courbe, on le recourbe au rebours (MONT. IV, 151)Un vendeur de chevaux n'est tenu de leurs vices, fors de morve, pousse, courbes et courbatures (LOYSEL 418)Contre les courbes [des chevaux] faut employer cataplasme fait de sauge (O. DE SERRES 982)Un jardin aiant des allées droites, des costés droits, des diagonales et des curves (O. DE SERRES 591)L'aedilitas curulis, ainsi nommée à cause de certaines chaires qui ont les pieds courbes (AMYOT Marius, 5)

ÉTYMOLOGIE

Provenç. et catal. corb ; espagn. et ital. corvo ; du latin curvus.

COURBE (s. f.)[kour-b']

Ustensile à l'aide duquel le porteur d'eau porte ses deux seaux.

Qu'on pense au nombre de voyages que ces pauvres diables sont obligés de faire à travers les escaliers obscurs ou glissants, en soutenant à l'aide de la courbe deux seaux pleins en équilibre sur leur épaule, et l'on ne trouvera pas que leur gain soit excessif (MAXIME DU CAMP Rev. des Deux-Mondes, 15 mai 1873, p. 306)

COURBÉ, ÉE (part. passé.)[kour-bé, bée]

1. Rendu courbe. Un bâton courbé.

Tantôt vous tracerez la course de votre onde ; Tantôt d'un fer courbé dirigeant vos ormeaux, Vous ferez remonter leur séve vagabonde Dans de plus utiles rameaux (J. B. ROUSS. Odes, III, 6)

Terme de blason. Se dit des fasces un peu voûtées en arc.

2. Infléchi, en parlant des personnes.

Je ne suis pas courbé sous le poids des années (BOILEAU Sat. I)

Un pauvre bûcheron tout couvert de ramée, Sous le faix du fagot aussi bien que des ans Gémissant et courbé, marchait à pas pesants (LA FONT. Fabl. I, 16)

On ne voyait de tous côtés que des femmes tremblantes, des vieillards courbés, de petits enfants les larmes aux yeux, qui se retiraient dans la ville (FÉN. Tél. I)

Oh ! que ne suis-je couvert de cheveux blancs, courbé et proche du tombeau comme Laërte, mon aïeul ! (FÉN. Tél. IV)

L'ambitieux, courbé sous le fardeau des ans, De la fortune encore écoute les promesses (DESHOULIÈRES Poésies, t. I, p. 171, dans POUGENS)

Et notre dernier roi, courbé du faix des ans (VOLT. Zaïre, II, 1)

Des sacrificateurs courbés par la vieillesse (VOLT. Oedipe, I, 1)

Terme de botanique. Qui est infléchi sur soi-même.

Fig.

Courbés sous nos tyrans nous attendons leurs coups (VOLT. Orphel. V, 5)

Que les enfants de ta mère soient courbés devant toi (VOLT. Phil. IV, 77)

COURBER (v. a.)[kour-bé]

1. Rendre courbe. Courber un bâton.

La vieillesse viendra courber ton corps (FÉN. Tél. XIX.)

Quand l'eau courbe un bâton, ma raison le redresse (LA FONT. Fabl. VII, 18)

Puis l'infirme vieillesse, arrivant tristement, Presse d'un malheureux la tête chancelante, Courbe sur un bâton sa démarche tremblante.... (A. CHÉN. Élég. 33)

2. Fléchir, baisser.

Peut-être Assuérus, frémissant de courroux, Si nous ne courbons les genoux Devant une muette idole, Commandera qu'on nous immole (RAC. Esth. II, 9)

Vous avez jusqu'ici.... Résisté sans courber le dos ; Mais attendons la fin (LA FONT. Fabl. I, 22)

On courbe l'homme, et il reste plié ; il prend cette attitude pour celle que lui donne la nature, il s'endort dans sa misère (ST-LAMBERT Saisons, IV, note 4)

On courbait la tête sous les bénédictions des évêques (CHATEAUB. Génie, IV, III, 2)

Fig.

Ce Dieu, tyran cruel, monarque imaginaire, Sous le sceptre odieux du pouvoir arbitraire, Devait courber nos fronts.... (DELILLE Parad.)

perdu, VI., Las de courber mon front sous un injuste empire (C. DELAV. Vêp. sicil. I, 2)

3. V. n. Courber sous le faix, plier, fléchir.

Quatre monstres marins courbent sous ce fardeau (CORN. Toison d'or, II, 3)

L'ombrage n'était pas le seul bien qu'il sût faire ; Il courbait sous les fruits (LA FONT. Fabl. X, 2)

Ils [des arbres] courbent sous le poids des offrandes sans nombre (LA FONT. Phil. et Bauc.)

4. Se courber, v. réfl. Devenir courbe. La poutre se courbant sous le poids qu'elle supportait.

Ce trône était ombragé de lilas qui se courbaient en voûte (MARMONT. Contes mor. Mari sylphe.)

Jusqu'aux fonds azurés où la voûte des airs S'unit, en se courbant, au vaste sein des mers (ST-LAMBERT Saisons, II)

Avec suppression du pronom réfléchi.

On fit courber par force des arbres l'un vers l'autre, et l'on attacha à chacun de ces arbres un des membres du corps de ce parricide (ROLLIN Hist. anc. Oeuvres, t. VI, p. 450, dans POUGENS)

5. Plier le corps. Se courber pour ramasser quelque chose.

Mais du haut de la porte enfin nous l'avons vue, Un poignard à la main sur Pyrrhus se courber, Lever les yeux au ciel, se frapper et tomber (RAC. Andr. V, 5)

Lui-même, se courbant, s'apprête à le rouler [le lutrin] (BOILEAU Lutrin, III)

6. S'incliner.

L'insolent devant moi ne se courba jamais (RAC. Esth. II, 1)

Cette tête élevée vers les cieux n'est pas faite à l'image du Créateur pour se courber devant un homme (RAYNAL Hist. phil. XIX, 10)

Séraphins, prophètes, archanges, Courbez-vous, c'est un roi ; chantez, c'est un martyr ! (V. HUGO Odes, I, 5)

Fig.

[La véritable grandeur] se courbe par bonté vers ses inférieurs et revient sans effort dans son naturel (LA BRUY. II)

7. S'humilier sous la volonté d'un supérieur. Tout se courbe devant cet homme.

Se dit aussi, dans le langage élevé, des objets inanimés.

Ô voyage bien différent de celui qu'elle avait fait sur la même mer, lorsque, venant prendre possession du sceptre de la Grande-Bretagne, elle voyait, pour ainsi dire, les ondes se courber sous elle et soumettre toutes leurs vagues à la dominatrice des mers ! (BOSSUET Reine d'Anglet.)

Et la mer se courbant sous vos flottes puissantes (DELILLE Énéide, IV)

HISTORIQUE

XIIe s.Jo guarderai à mun oes [service] set milie humes ki encore unches ne curberent le genuil devant Baal (Rois, 322)

XIIIe s.Corbés sui por le fes de mes pechiez qui trop est griés [lourd] (Psautier, f° 47)

XVIe s.Il n'en ont veu aulcun esdenté ou courbé de vieillesse (MONT. I, 236)La figure [de ma bibliothèque] en est ronde ; elle vient m'offrant, en se courbant, d'une veue touts mes livres (MONT. III, 289)En un endroit où la rive se courboit en forme de croissant (AMYOT Publ. 35)Leurs espées estoient forgées de fer fort mol, de sorte qu'elles se courboient et plioient incontinent (AMYOT Cam. 70)On ne voyoit autre chose que gens courbez vers la terre qui fouilloient des pierres (AMYOT Anton. 58)

ÉTYMOLOGIE

Berry, corber, corbir ; provenç. corbar, curvar ; anc. espagn. corvar ; ital. curvare ; du latin curvare (voy. COURBE).

Wikipedia

Courbe

                   

En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.

La notion générale de courbe se décline en plusieurs objets mathématiques ayant des définitions assez proches : arcs paramétrés, lignes de niveau, sous-variétés de dimension 1. Schématiquement, ces différents modes d'introduction donnent des éclairages complémentaires sur la notion générale de courbe :

  • Une courbe peut être décrite par un point qui se meut suivant une loi déterminée. La donnée d'une valeur du paramètre temps permet alors de repérer un point sur la courbe. Intuitivement, cela signifie que les courbes sont des objets de dimension 1 ;
  • Une courbe peut être vue comme un domaine du plan ou de l'espace qui vérifie un nombre suffisant de conditions, lui conférant encore un caractère unidimensionnel.

Ainsi une courbe plane peut être représentée dans un repère cartésien par la donnée de lois décrivant abscisse et ordonnée en fonction du paramètre (équation paramétrique)

\begin{cases}x&=\xi(t)\\ y &=\eta(t)\end{cases},

ou encore par la donnée d'une équation cartésienne, ou implicite : F(x,y)=0\,.

Sommaire

  Première approche des invariants associés aux courbes

La géométrie différentielle a pour objectif d'associer aux courbes des objets mathématiques permettant de décrire le mouvement. Les plus intéressants sont ceux qui sont attachés à la courbe, indépendamment de la façon dont elle est parcourue : on définit notamment la longueur d'un arc de courbe, et les concepts de tangente à la courbe, de courbure.

  La tangente est limite des sécantes

  Tangente à la courbe

On commence par définir la droite sécante entre deux points M et N de la courbe : c'est la droite qui les relie. La tangente en M peut alors être définie comme la position limite de la sécante lorsque le point N tend vers M.

La tangente en M est également la droite « la plus proche possible » de la courbe au voisinage de M. C'est ce qui explique la proximité entre la notion géométrique de tangente à une courbe, et de dérivée d'une fonction, ou encore de développement limité à l'ordre 1 d'une fonction.

La courbe reste très souvent d'un seul côté de sa tangente, au moins au voisinage du point M. Cependant, en certains points particuliers, appelés points d'inflexion elle traverse sa tangente.

  Cercle osculateur

  Cercle osculateur et courbure

On peut également définir le cercle osculateur de la courbe au point M comme le cercle « le plus proche possible » de M, au voisinage de M. On peut montrer que ce cercle embrasse mieux la courbe que ne le fait la tangente, d'où le mot osculateur (dont l'étymologie est « petite bouche »). Mais pour donner un sens précis à cette affirmation il faut introduire la notion de contact.

Le centre du cercle osculateur est appelé centre de courbure et son rayon le rayon de courbure. La courbure est, par définition, l'inverse du rayon de courbure. La courbure au point M est d'autant plus forte que la courbe effectue en M un virage serré.

  Torsion d'une courbe gauche et généralisation

La tangente décrit bien le comportement de la courbe au premier ordre : la tendance globale de la courbe est d'avancer dans la direction de sa tangente. Le cercle osculateur et la courbure donnent un comportement de deuxième ordre, venant préciser l'information précédente, en donnant la tendance à tourner d'un côté ou de l'autre de la tangente.

Pour les courbes de l'espace à trois dimensions, il est possible d'aller plus loin. La courbe, à l'ordre deux, a tendance à avancer en tournant en restant dans le plan contenant le cercle osculateur (appelé plan osculateur). Une correction, d'ordre 3, vient s'ajouter, qui correspond à une tendance à s'écarter du plan osculateur. L'invariant correspondant est la torsion de la courbe. La torsion est donc ce qui fait que la courbe est non plane.

Il serait possible de poursuivre plus avant avec des courbes dans des espaces de dimension supérieure à trois, et une famille d'invariants généralisant courbure et torsion, et qui décrivent la courbe à des ordres d'approximation de plus en plus grands. Enfin, tous ces calculs, pour être réalisés, demandent la vérification d'un certain nombre de conditions de régularité des fonctions, et l'exclusion de points ayant un comportement exceptionnel.

  Modes de définition d'une courbe plane

Il existe pour les courbes planes plusieurs modes d'introduction traditionnels. On se place ici dans le plan de la géométrie, muni d'un repère orthonormé (O, \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}). On fait l'hypothèse générale que les fonctions qui apparaissent sont dérivables. La raison de cette limitation apparaîtra un peu plus bas.

  Équation paramétrique

Une courbe définie par une équation paramétrique est le lieu des points M(x,y), où x et y sont des fonctions d'un paramètre t prenant ses valeurs dans une partie de \R

\overrightarrow{OM}=x(t) \overrightarrow{\imath} + y(t) \overrightarrow{\jmath} .

En un point où le vecteur dérivé

\overrightarrow{OM}'= \frac{d \overrightarrow{OM}}{d t} = x'(t) \overrightarrow{\imath} + y'(t) \overrightarrow{\jmath}

est non nul, il y a une tangente à la courbe, dirigée par ce vecteur.

L'interprétation cinématique classique est de considérer le paramètre t comme le temps, le vecteur dérivé est alors le vecteur vitesse.

Il convient alors de distinguer :

  • la courbe, qui est souvent appelée trajectoire, et qui est un sous-ensemble du plan ;
  • l'arc paramétré proprement dit qui est la courbe munie de sa « loi de temps », c'est-à-dire le couple de fonctions x(t),y(t).

Remarque : La représentation graphique d'une fonction y=f(x) peut être vue comme un cas particulier de courbe paramétrée : en prenant comme paramètre l'abscisse elle-même (t=x), on a x(t)=t, y(t)=f(t).

  Équation polaire

On utilise pour ce type de courbe les coordonnées polaires. La courbe est alors définie par une fonction \rho(\theta)\, et ses points ont pour coordonnées polaires (\theta, \rho(\theta))\,.

On peut facilement se ramener à une courbe paramétrée, d'équations x=\rho(\theta)\cos\theta, y=\rho(\theta)\sin\theta\,. Mais les mathématiciens traitent ces courbes par des méthodes adaptées, en introduisant en premier lieu la notion de repère mobile.

  Équation cartésienne

Étant donnée une fonction f de x et de y, on appelle courbe d'équation cartésienne f(x,y)=C l'ensemble des points M(x,y) dont les coordonnées vérifient cette équation.

On parle aussi pour cet ensemble de la ligne de niveau C de la fonction f. Si la fonction f représente une altitude, on retrouve le concept familier de courbe de niveau d'une carte de géographie.

Par exemple la ligne de niveau R>0 pour la fonction f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} est le cercle de centre O et de rayon R.

Le théorème des fonctions implicites permet de trouver l'équation de la tangente à cette courbe en un point donné. Précisément, un point M=(x,y) appartenant à la courbe est dit régulier quand le gradient de f est non nul en ce point. Et dans ce cas, la tangente est orthogonale au vecteur gradient.

  Équation intrinsèque

Il s'agit de décrire une courbe par une équation reliant exclusivement les invariants euclidiens : abscisse curviligne, rayon de courbure (ou courbure), rayon de torsion (ou torsion). Pour les courbes planes, l'invariant de torsion n'intervient pas. À la différence des systèmes précédents, de telles équations déterminent par nature les courbes indépendamment de leur orientation dans l'espace : les courbes sont donc définies à un déplacement près. Les équations les plus simples déterminent en général des courbes de type spirale.

Exemples :

  Définition des courbes gauches

On se place cette fois dans l'espace à trois dimensions usuel, muni d'un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j},\vec{k}).

  Équation paramétrique

L'équation paramétrique prend cette fois la forme

\vec{OM}=x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t)\vec{k} .

Le principe du calcul de la tangente est le même : en un point où le vecteur dérivé

\vec{OM}'= \frac{d \vec{OM}}{d t} = x'(t) \vec{i} + y'(t) \vec{j}+ z'(t)\vec{k}

est non nul, il y a une tangente à la courbe, dirigée par ce vecteur.

  Équations cartésiennes

Une équation de la forme F(x,y,z)=C définit un ensemble appelé surface de niveau de la fonction F. Sous certaines conditions, l'intersection de deux surfaces de niveau définit une courbe et permet le calcul de sa tangente.

Voici le détail de ces conditions pour l'intersection

\begin{cases}F(x,y,z)=C\\
G(x,y,z)=D\end{cases}.

Si les fonctions F et G sont différentiables et que les vecteurs gradients de F et G en un point M de l'intersection sont des vecteurs indépendants, alors la courbe d'intersection possède une tangente dirigée par le vecteur

\vec{T}=\vec{\nabla} F \wedge  \vec{\nabla} G.

Avec les coniques, on a un exemple très classique d'introduction des courbes par intersection de surfaces : ce sont les courbes obtenues par intersection d'un cône de révolution et d'un plan.

  Équation intrinsèque

Le principe est le même que pour les courbes planes, mais l'invariant de torsion peut intervenir. Par exemple, R le rayon de courbure et T le rayon de torsion, R = a et T = b (a, b donnés) déterminent une hélice circulaire.

  Considérations topologiques

Lorsqu'on relâche l'exigence de dérivabilité des fonctions définissant les courbes, la situation peut singulièrement se compliquer.

  Les trois premières étapes de la construction de la courbe de Peano

  Un exemple surprenant : la courbe de Peano

En 1890, Peano découvrit une « courbe » aux propriétés étranges :

  • Elle est définie par une application continue de [0,1] dans le plan ;
  • Sa trajectoire est l'ensemble des points du carré [0,1]x[0,1].

L'illustration représente les premières étapes de la construction de cette courbe, qu'on range aujourd'hui dans la catégorie des fractales.

Avec cet exemple, ou en considérant d'autres constructions de courbes fractales telles que le flocon de Koch ou la courbe du dragon, la notion de dimension semble perdre de sa pertinence. Il est possible en effet que l'image du segment [0,1] par une application continue ait une dimension de Hausdorff strictement supérieure à 1, ou même une mesure de Lebesgue différente de 0.

  Théorème de Jordan

Même dans le cadre très général des courbes continues, un résultat de topologie à l'énoncé apparemment élémentaire reste vérifié : une boucle délimite un intérieur et un extérieur.

Dit en termes moins vagues, si une courbe continue f:[a,b]\to \R^2 est fermée (les deux extrémités coïncident) et simple (la fonction est injective sur [a,b[, c'est-à-dire la courbe ne se recoupe pas elle-même) alors elle sépare le plan en deux composantes connexes, l'une bornée (l'intérieur), l'autre non bornée (l'extérieur). De plus la courbe est la frontière (au sens topologique) de chacune de ces deux parties.

Ce théorème ne connut une démonstration que tardivement (en 1905, par Oswald Veblen) après plusieurs tentatives incomplètes. Il convient de noter que la courbe de Peano n'est pas une courbe simple, même si les fonctions obtenues à chaque étape de sa construction le sont.

  Exemple de nœud

  Plongement, nœud

Soit I un intervalle. L'application f:I\to \R^3 est appelée plongement lorsqu'elle réalise un homéomorphisme de I sur son image f(I). De même on parle de courbe fermée plongée pour une application f:{\mathbb S}^1 \to \R^3 définie sur le cercle unité et qui constitue un homéomorphisme sur son image.

Il est possible de plonger le cercle de plusieurs façons, non équivalentes, dans l'espace de dimension trois. La classification des plongements possibles constitue la théorie des nœuds.

  Courbes algébriques

  Un exemple de sextique du plan

Une courbe du plan est dite algébrique si son équation cartésienne est polynomiale. Le plus grand degré (somme des degrés en x et en y) de l'équation cartésienne est appelé le degré de la courbe. Par exemple, la courbe ci-contre a pour équation cartésienne x^2y^4+x^4+2y^4-3x^2=1, le premier terme est de degré 2+4=6, et tous les autres termes sont de degré inférieur à 6. C'est donc une courbe de degré 6, ou sextique.

Selon son degré, une courbe algébrique du plan est

  1. Une droite si elle est de degré 1;
  2. Une conique si elle est de degré 2;
  3. Une courbe cubique si elle est de degré 3
  4. Une quartique si elle est de degré 4;
  5. Une quintique si elle est de degré 5;
  6. etc.

Une courbe algébrique sur le corps des complexes est une surface de Riemann; dans ce cas, vue comme surface dans l'espace de dimension 4, elle est topologiquement équivalente à un tore à g trous, où g est le genre (mathématiques) de la surface. Ce nombre est inférieur de 2 unités au degré de la courbe. Par exemple, une courbe elliptique (qui est une cubique) de \C^2 est un tore dans \R^4.

Lorsqu'elle est unicursale, une courbe algébrique admet une représentation paramétrique.

Dans l'espace, une équation cartésienne polynomiale en x, y et z décrit une surface algébrique. Une courbe algébrique de l'espace est alors définie comme une intersection de surfaces algébriques. Par exemple, l'intersection de deux quadriques est en général formée de deux coniques disjoints. L'étude de ces objets, et donc en particulier des courbes algébriques, est la géométrie algébrique.

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