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définition - démonstration

démonstration (n.f.)

1.action de présenter à la vue qqch, de le donner à voir.

2.mouvement des troupes qui défilent.

3.preuve de la solution d'un problème logique.

4.ensemble des signes volontaires qui manifestent un sentiment, des intentions ou des dispositions.

5.objet rare, précieux ou ancien.

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définition (complément)

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synonymes - démonstration

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voir aussi

démonstration (n.f.)

démontrer, manifester

locutions

dictionnaire analogique







preuve[Hyper.]

démonstration (n. f.)




Le Littré (1880)

DÉMONSTRATION (s. f.)[dé-mon-stra-sion ; en poésie, de cinq syllabes]

1. Raisonnement qui prouve avec évidence.

Le fruit de la démonstration est la science (BOSSUET Connaiss. I, 13)

Voilà contre vous la plus complète démonstration que l'on pût faire (BOSSUET Théol.)

Je tourne ma réponse en démonstration contre l'auteur (BOSSUET Satisf.)

2. Tout ce qui sert à démontrer. Les faits sont la meilleure démonstration de cette proposition.

3. Leçon dans laquelle on met sous les yeux des élèves les objets mêmes dont on leur parle.

4. Manifestation des dispositions, des intentions. Des démonstrations hostiles. Des démonstrations d'amitié.

Ce serait une chose insupportable que Chimène en convînt [de son mariage] avec Rodrigue dès le lendemain qu'il a tué son père, et Rodrigue serait ridicule s'il faisait la moindre démonstration de le désirer (CORN. 1er disc. du poëme dramatique, p. 12)

Recevoir quelqu'un avec de grandes démonstrations de joie (PATRU Plaidoyer 7, dans RICHELET)

Les démonstrations que vous recevez dans votre gouvernement (SÉV. 523)

Toutes les démonstrations qu'il nous fait, et dont il serait honnête d'être la dupe, plutôt que d'être capable de le soupçonner injustement (SÉV. Lett. 28 nov. 1670)

Quelque démonstration que fît Henri de vouloir, dans cette occasion, des conseils sincères, il ne pouvait rendre aux évêques la liberté que ses cruautés leur avaient ôtée (BOSSUET Var. VII, § 74)

Je m'attends à des démonstrations d'une joie bien sincère (MAINTENON Lettre au duc de Noailles, 5 août 1710)

Habitué aux démonstrations orageuses de la passion des Italiens (STAËL Corinne, IV, 1)

Terme militaire. Manoeuvre qu'on fait pour donner le change sur les desseins véritables. Il fit une démonstration sur l'aile droite de l'ennemi.

Le vice-roi s'apercevait que la plupart de ces Moscovites, attirés par ses démonstrations, s'étaient portés à la gauche de la route (SÉGUR Hist. de Napol. X, 4)

SYNONYME

DÉMONSTRATIONS D'AMITIÉ, TÉMOIGNAGES D'AMITIÉ. Démonstration va tout à l'extérieur, aux airs du visage, aux manières agréables, à un accueil obligeant. Témoignage est plus intérieur, et va au solide, à de bons offices, à des services essentiels. Un faux ami peut donner des démonstrations d'amitié, il n'y a qu'un véritable ami qui puisse donner des témoignages d'amitié.C'est une démonstration d'amitié que d'embrasser une personne ; c'est un témoignage d'amitié que de prendre ses intérêts (BOUHOURS Rem. nouv.)

HISTORIQUE

XIIIe s.Mais raison ainsinc le li prueve, Qui les demonstroisons i trueve (la Rose, 17034)

XIVe s.Il appartient à celui qui a sapience avoir demonstration d'aucunes choses (ORESME Eth. 176)Science est par demonstration (ORESME Thèse de MEUNIER.)

XVIe s.Nous avons une certaine demonstration par laquelle toute ceste question se peut vuider (CALV. Instit. 468)Je n'eusse pas pensé d'avoir veu en tel temps tant de demonstracion d'amour et d'obeissance (MARG. Lett. XXXIII)Craignant que la demonstration qu'il avoit faite de son desir lui fist perdre la privauté qu'il avoit avec elle (MARG. Nouv. XXII)Faire demonstration [sembler] de craindre (MONT. I, 15)Propositions dont on ne peut trouver les demonstrations intellectives par raisons indubitables (AMYOT Marcell. 21, 27)Et comme il passast à travers le païs de la Boeoce sans aucune demonstration de guerre (AMYOT Flamin. 10)

ÉTYMOLOGIE

Provenç. demostratio ; espagn. demonstracion ; ital. dimostrazione ; du latin demonstrationem, de demonstrare, démontrer. L'ancienne forme desmonstroison est la plus régulière comme oroison ou oraison d'orationem. L'ancien français avait aussi demonstrance, formé comme remontrance et usité jusque dans le XVIe siècle, et demonstrement.

Wikipedia

Démonstration

                   

En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de règles de déduction. La proposition une fois démontrée peut ensuite être elle-même utilisée dans d'autres démonstrations. En ce cas, on la nomme généralement lemme. Dans toute situation où les propositions initiales sont vraies, la proposition démontrée devrait être vraie ; on ne pourrait la remettre en cause qu'en remettant en cause une ou plusieurs des propositions initiales ou le système de règles de déduction lui-même.

Cette description peut s'avérer idéale. Il arrive qu'une démonstration s'appuie partiellement sur l'intuition, géométrique par exemple, et donc que toutes les propriétés admises, les axiomes, ne soient pas explicites. Les démonstrations de géométrie que l'on peut trouver dans les Éléments d'Euclide sont par exemple considérées encore aujourd'hui comme des modèles de rigueur, alors qu'Euclide s'appuie en partie sur des axiomes implicites, comme l'a montré David Hilbert dans ses « fondements de la géométrie ». Par ailleurs, les démonstrations des mathématiciens ne sont pas formelles et une démonstration peut être considérée comme correcte dans les grandes lignes, alors que des points resteraient à expliciter en toute rigueur, voire que d'autres sont entachés d'erreurs « mineures ». On rédige une démonstration pour être lue et convaincre les lecteurs, et le niveau de détails nécessaire n'est pas le même suivant les connaissances de ceux-ci. Cependant avec l'avènement des ordinateurs et des systèmes d'aide à la démonstration, des mathématiciens contemporains rédigent des démonstrations qui sont amenées à être vérifiées par des programmes.

Hors du champ des mathématiques, en droit par exemple, une démonstration intervient comme un complément de preuves, c'est une suite d'arguments énoncés en vue d'emporter l'adhésion de l'auditeur ou du lecteur.

Sommaire

  Typologie des démonstrations

Les démonstrations mathématiques passent par diverses étapes en suivant une certaine ligne de déduction. Certains grands types de démonstrations ont reçu des dénominations spécifiques.

  • Les mathématiciens parlent assez informellement de démonstration directe, pour une démonstration d'un énoncé n'utilisant que les constituants de celui-ci, de la façon la plus simple possible, sans les recomposer, et sans le déduire de théorèmes plus forts. Dans certains contextes, on peut considérer qu'une démonstration par l'absurde ou par contraposition est indirecte.
  • Une preuve par l'exemple (resp. la recherche de contre-exemple) permet de valider une propriété existentielle (resp. invalider une propriété universelle), sous certaines conditions, une proposition universelle peut être prouvée par un ou plusieurs exemples bien choisis.
  • Une démonstration par l'absurde consiste à montrer qu'en affirmant la négation de l'assertion à démontrer on aboutit à une contradiction, typiquement une proposition et sa négation.
  • Une démonstration est constructive si elle inclut une construction ou un mode de recherche effectif des objets dont elle établit l'existence.
  • Une démonstration par récurrence s'appuie sur une méthode de déduction spécifique (dite récurrence) pour affirmer qu'une assertion est démontrable pour tous les entiers naturels : elle consiste à démontrer l'assertion pour 0 (ou 1), puis à démontrer que de l'assertion pour l'entier n, on peut déduire l'assertion pour l'entier n+1. Il existe des variantes plus générales pour les éléments d'un certain ensemble bien ordonné ou pour des structures qui sont construites d'une façon qui étend celle avec laquelle les entiers naturels sont décrits.
  • Une démonstration probabiliste utilise la théorie des probabilités pour démontrer l'existence certaine d'un objet. Elle ne doit pas être confondue avec l'assertion « ce théorème est probablement vrai ».
  • Une démonstration par analyse-synthèse consiste à étudier les propriétés de l'hypothétique solution d'un problème dont on cherche à prouver l'existence et l'unicité, jusqu'à identifier une seule solution possible, puis à montrer que ce candidat est effectivement solution.
  • Une preuve bijective.

  Incomplétude et indépendance

Il est parfois possible de démontrer[1] qu'une certaine assertion ne peut pas être démontrée dans un certain système axiomatique dont on aurait pourtant attendu qu'il puisse formaliser « toutes » les mathématiques ; ainsi l'axiome du choix ne peut pas être démontré dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, non plus que sa négation. De façon analogue, ni l'hypothèse du continu ni sa négation ne sont démontrables dans la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix. On dit que ces assertions sont indépendantes de ce système d'axiomes : il est par exemple possible d'ajouter aussi bien l'axiome du choix que sa négation à la théorie des ensembles, la théorie restera cohérente (en supposant que la théorie des ensembles le soit). En fait, comme l'énonce le théorème d'incomplétude de Gödel, dans toute théorie axiomatique « raisonnable »[2] qui contient les nombres naturels, il existe des propositions qui ne peuvent pas être démontrées alors qu'elles sont en fait « vraies » ; plus précisément toutes les instances de la proposition par chacun des entiers naturels sont démontrables.

  Théorie de la démonstration

La logique mathématique a développé une branche qui est consacrée à l'étude des démonstrations et des systèmes déductifs et s'appelle pour cela la théorie de la démonstration.

  Outils d'aide à la démonstration

L'informatique a construit des outils d'aide à la démonstration qui sont de deux ordres :

  Notes et références

  1. Il s'agit d'une démonstration dans la méta-théorie.
  2. On peut vraiment en énoncer les axiomes et, même s'il y en a une infinité, les décrire précisément de façon finie, un énoncé précis de cette notion de théorie raisonnable repose sur la théorie de la calculabilité.

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