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Dictionnaire de la langue française
Principales Références

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Le dictionnaire des synonymes est surtout dérivé du Crisco ou du dictionnaire intégral (TID).
L'encyclopédie française bénéficie de la licence Wikipedia (GNU).

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définitions

division (n.f.)

1.action de diviser. Ce qui résulte de cette action.

2.partie d'un tout divisé (non séparée de ce tout).

3.(mathématiques)opération mathématique consistant à partager une quantité en un certain nombre de parties égales.

4.(militaire)grande unité militaire formée de régiments d'armes différentes.

5.(JO)Fractionnement d'une action par division de son nominal.

Note :Cette procédure a également pour conséquence le fractionnement de son cours de bourse dans les mêmes proportions. Elle permet ainsi une diffusion plus large du titre.
(Arrêté du 18/02/1987 - date de la publication : 22/09/2000 - éd. commission de l'économie et des finances)

 
voir aussi

division (n.f.)

divisionnaire diviser

 
synonymes
 
locutions
 
dictionnaire analogique

division (n. f.)

tid

division (calcul)[termes liés]

opération de calcul arithmétique[DomainRegistre]

diviser[Nominalisation]

division (n. f.)

tid

désaccord[Classe]

division (n. f.) [ellipse]

division (n. f.)

tid

action de diviser[ClasseHyper.]

action, fait de séparer[ClasseHyper.]

fait de se séparer en plusieurs parties[ClasseHyper.]

diviser[Nominalisation]

division (n. f.)

division (n. f.) [ellipse, armée]

division (n. f.)

tid

élément, division d'un tout[Classe]

diviser[Nominalisation]

division (n. f.)

tid

action de diviser[Classe]

action de se dédoubler[ClasseHyper.]

dédoubler[Nominalisation]

division (n. f.)

division (n. f.)

division (n. f.)

division (n. f.)

division (n. f.)

division (n. f.) [JO]

 
le Littré (1880)

DIVISION (s. f.)

1. Opération par laquelle on réduit un corps solide en parties plus ou moins ténues.

On trouve, dans l'art et dans la nature, des divisions qui vont infiniment plus loin qu'on ne peut l'imaginer (ROLLIN Traité des Ét. liv. VI, art. 3 et 4)

Terme de minéralogie. Division mécanique, propriété qu'ont un grand nombre de cristaux de se partager dans des directions planes.

Terme de chirurgie. Séparation fortuite et accidentelle de parties naturellement réunies ; dans ce sens il est synonyme de solution de continuité ; ou séparation méthodique de ces parties opérée par le chirurgien dans des vues de guérison.

Terme d'imprimerie. Petit tiret qui se met au bout d'une ligne, entre une partie d'un mot et celle qui est rejetée à la ligne suivante.

2. Distribution par parties. La division d'une histoire par chapitres. La division de la France en départements. La division de la circonférence en degrés. La division d'un immeuble, d'un héritage. La division d'une somme d'argent.

Terme d'économie politique. Division du travail, organisation du travail de telle sorte que chaque ouvrier, n'en faisant qu'une seule partie toujours la même, acquière ainsi un grand degré d'habileté.

Adam Smith a très ingénieusement remarqué combien ce qu'il a le premier appelé la division du travail, augmente sa puissance productive (J. B. SAY Cours, 1840, t. I, p. 165)

En général, division du travail, division des opérations industrielles, de manière que chacune soit accomplie par une personne différente.

L'essence de la division du travail est que chaque travailleur fasse constamment la même besogne (J. B. SAY ib. t. I, p. 178)

Terme de pratique. Bénéfice de division, exception par laquelle la caution obtient que le créancier divise sa demande entre tous les cofidéjusseurs.

Sans division ni discussion, solidairement l'un pour l'autre, et un seul pour le tout.

En langage de corps délibérants, division de la question, de l'article, délibération séparée sur les divers points que présente une question, ou sur les divers paragraphes d'un article.

Dans le parlement anglais, manière de consulter l'opinion de la chambre, en faisant passer d'un côté de la salle tous les membres qui adoptent la mesure proposée, et de l'autre tous ceux qui la rejettent.

Scrutin par division, vote individuel, par opposition au vote par assis ou levé.

3. Partie divisée, séparée d'un tout. Une division territoriale, administrative. Les divisions du mètre sont le décimètre, le centimètre, le millimètre. Les divisions d'un livre.

En botanique, division se dit pour segment ou découpure naturelle d'une feuille, lobe d'un calice, d'une corolle. Corolle à cinq divisions.

4. Terme de guerre. Division active, réunion de deux et quelquefois de trois brigades d'infanterie ou de cavalerie, toujours accompagnées d'artillerie, de génie et d'équipages militaires. Général de division.

Les soldats de Ney et ceux de la division Gudin, veuve de son général, y étaient rangés sur les cadavres de leurs compagnons et sur ceux des Russes, au milieu d'arbres à demi brisés, sur une terre battue par les pieds des combattants (SÉGUR Hist. de Nap. VI, 8)

Terme de manoeuvre. Réunion de deux compagnies ou de deux pelotons. Former les divisions.

Division militaire, circonscription territoriale composée généralement de plusieurs départements et placée sous le commandement d'un général de division.

5. Terme de marine. Réunion de trois bâtiments de guerre au moins, sous la direction du chef le plus haut en grade ou le plus ancien par date de brevet, si les trois capitaines sont de même grade. Une armée navale se divise en trois escadres, et chaque escadre en trois divisions.

Chef de division, autrefois capitaine de vaisseau pourvu d'une commission qui lui donnait le droit de commander plusieurs vaisseaux.

Compagnie de marins organisés militairement.

6. Terme d'administration. Réunion de bureaux sous la direction d'un commis supérieur. Un chef de division.

7. Dans un lycée ou un collége, portion d'une même classe placée sous la direction d'un professeur distinct. Les deux divisions de la troisième.

8. Terme de calcul. Opération qui a pour but, connaissant un produit et un de ses facteurs, de trouver l'autre facteur ; et, particulièrement, en arithmétique, opération par laquelle on cherche combien de fois un nombre est contenu dans un autre.

9. Terme de rhétorique. Partie d'un discours qui consiste à diviser en plusieurs points tout ce que l'on a à dire. La division rentre dans les parties destinées à instruire ; elle en est souvent la première.

10. Fig. Désunion, discorde.

Il arriva de grandes divisions parmi les Phrygiens (D'ABLANCOURT Arrien, liv. II, dans RICHELET)

L'abondance, augmentant les forces, engendrait les divisions (D'ABLANCOURT Tacite, liv. I, dans RICHELET)

Et leur division que je vois à regret, Dans mon esprit charmé jette un plaisir secret (CORN. Cid, II, 5)

Et rendre un calme heureux à nos divisions (CORN. Sertor. III, 4)

La division se mit dans la nouvelle réforme (BOSSUET Var. 2)

Quel respect n'avait-elle pas pour le souverain pontife vicaire de Jésus-Christ et pour tout l'ordre ecclésiastique ? qui pourrait dire combien de larmes lui ont coûté ces divisions toujours trop longues et dont on ne peut demander la fin avec trop de gémissements ! le nom même et l'ombre de division faisait horreur à la reine, comme à toute âme pieuse (BOSSUET Marie-Thér.)

Les deux Gracques, en flattant le peuple, commencèrent les divisions qui ne finirent qu'avec la république (BOSSUET Hist. I, 9)

Jeter la division parmi leurs ennemis (BOSSUET ib. III, 6)

Cependant et ma haine et ses prétentions Sont les moindres sujets de nos divisions (RAC. Mithr. I, 1)

Il y a entre les sciences et les richesses une ancienne et irréconciliable division (FONTEN. Rolle.)

Et laissant Rome heureuse et sans divisions (VOLT. M. de César, I, 3)

Il est trop vrai que les divisions Ont régné trop longtemps entre nos deux maisons (VOLT. Tancr. I, 1)

Différents dans leurs genres, mais placés dans la même carrière, rivaux sans divisions, concurrents dignes de s'estimer.... les Corneille, les Bossuet, les Racine, les Fénelon.... (GRESSET Disc. de réception à l'Acad.)

HISTORIQUE

XIIe s.Faiz fu ses heumes [son haume] par grant division [habileté] (Ronc. p. 51)Qu'il nous en fasse voire division [vraie séparation] (ib. p. 155)Devorer le verrez [aux lions] par mil divisions (ib. p. 200)Gardez [ayez soin] que li message [les messagers] soient mis en prison ; Nous en ferons justice à no devision [à notre volonté] (Sax. XXV)

XIIIe s.Se feme requiert que division soit fete des biens son mari, du vivant du mari, on ne doit pas obeir à sa requeste (BEAUMANOIR LVII, 2)Se tu as bien devisé, multeplie cele devision ; et quant tu l'averas multeplié.... (Comput, f° 15)

XIVe s.Le samedi devant la division des apostres, l'an MCCCXXI (Bibl. des Chartes, 4e série, t. III, p. 272)

XVIe s.L'esperance que ceste licence augmenteroit les parts et les brigues de la division et empescheroit le peuple de se reünir et de se fortifier contre lui par leur concorde et unanime intelligence (MONT. III, 84)

ÉTYMOLOGIE

Provenç. devision, devezio ; espagn. division ; ital. divisione ; du latin divisionem, de divisum, supin de dividere (voy. DIVISER).

 
Wikipedia

Division

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir division (homonymie). 

La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "multiplication par ce nombre".

On distingue couramment la division "exacte" (celle dont on parle ici) de la division "avec reste" (la division euclidienne). Le résultat d'une division s'appelle le quotient.

Sommaire

  • 1 problématique
  • 2 Vocabulaire et notations - historique
  • 3 Définition
  • 4 Propriétés
  • 5 Algorithme de la division
  • 6 Mathématiques et langue française
  • 7 Voir aussi

problématique

La division sert

  • à faire un partage équitable entre un nombre de parts déterminé à l'avance, et donc à déterminer la taille d'une part. Par exemple :
Question : Si on répartit équitablement 500 grammes de poudre de perlimpimpin entre huit personnes, combien chacune d'elle obtiendra-t-elle ?
Réponse : \frac{500}{8} = 62,5, chacun obtient 62,5 grammes de poudre de perlimpimpin
  • à déterminer le nombre de parts possible, d'une taille déterminée à l'avance. Par exemple :
Question : Si on répartit 500 grammes de poudre de perlimpimpin par tranche de 70 g, combien de personnes pourra-t-on servir ?
Réponse : \frac{500}{70} = 7,14.., on pourra servir 7 personnes et il restera de quoi servir 1/7 de personne (...)

Vocabulaire et notations - historique

Le symbole actuel de la division est un trait horizontal séparant le numérateur (dividende) du dénominateur (diviseur). Par exemple, a divisé par b se note \frac ab.

Le dénominateur donne la dénomination et le numérateur énumère : \frac 34 indique qu'il s'agit de quarts, et qu'il y en a trois -> "trois quarts"

Diophante et les Romains, au IVe siècle écrivaient déjà des fractions sous une forme semblable, les Indiens également au XIIe siècle et la notation moderne fut adoptée par les Arabes.

Le symbole : a été plus tard utilisé par Leibniz.

Les fabricants de calculatrices impriment les symboles ÷ ou \div ou / sur la touche "opérateur division". L'utilisation de ces symboles est plus ambiguë que la barre de fraction, puisqu'elle demande de définir des priorités, mais elle est pratique pour l'écriture "en ligne" utilisée en imprimerie ou sur un écran.

Aujourd'hui, en classe de 6ème de collège, les notations \div : et / sont utilisées, car la division a pour les élèves un statut (discutable) d'opération. Une nuance de sens est communément admise :

  • a\divb et a:b désignent une opération (i.e. non effectuée), et le vocabulaire approprié est dividende pour a et diviseur pour b.
  • \frac ab et a/b désignent l'écriture fractionnaire du résultat de cette opération, et le vocabulaire approprié est numérateur pour a et dénominateur pour b.

Définition

Étant donné un anneau intègre (A,+,×), la division sur A est la loi de composition : A\times A \to A, notée par exemple « ÷ », telle que \forall (a,b,c)\in A\times A\times A, a ÷ b = c si et seulement si b × c = a.

L'intégrité de l'anneau assure que la division a bien un résultat unique. Par contre, elle n'est définie que sur A\times(A-\{0\}) si et seulement si A est un corps, et en aucun cas définie pour b = 0.

Si la division n'est pas définie partout, on peut étendre conjointement la division et l'ensemble A en posant que \forall (a,b)\in A\times A, a ÷ b est un nombre de cet ensemble étendu. On construit ainsi le corps engendré par l'anneau A. C'est ainsi que l'on construit \mathbb{Q} à partir de \mathbb{Z}.

Une construction plus rigoureuse de \mathbb{Q} le définit comme l'ensemble quotient de \mathbb{Z}\times (\mathbb{N}-\{0\}) par la relation d'équivalence R définie par \forall ((a,b),(a',b')),(a,b)R(a',b') \iff ab'=a'b.

Cette définition ne recouvre pas celle de division euclidienne, qui se pose de manière analogue mais dont le sens est radicalement différent.

Dans l'idée, elle sert aussi à inverser la multiplication (dans a, combien de fois b). Le problème de définition ne se pose plus, puisque \forall (a,b)\in \mathbb{N}\times(\mathbb{N}-\{0\}), \{n\in\mathbb{N}\ |\ b\times n<=a\} est une partie de \mathbb{N} non vide et majorée, qui admet donc un plus grand élément.

Cette division, fondamentale en arithmétique, introduit la notion de reste. Néanmoins, comme pour toutes les divisions, le b de la définition ne peut être zéro, en effet, une division par 0 donnerait un résultat infini.

Propriétés

La division n'était pas à proprement parler une opération (loi de composition interne, définie partout), ses "propriétés" n'ont pas d'implications structurelles sur les ensembles de nombres, et doivent être comprises comme des propriétés des nombres en écriture fractionnaire.

"Non-propriétés"

  • non-commutative car 5 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 5
  • non-associative car 12 ÷ (4 ÷ 3) ≠ (12 ÷ 4) ÷ 3

Remarques

  • pseudo-élément neutre à droite : 1
    \frac a1 = a
  • pseudo-élément absorbant à gauche : 0
    si b ≠ 0, \frac 0b = 0
  • égalité de fractions
    • de même dénominateur
      si b ≠ 0, \frac ab = \frac cb \iff a=c
    • en général (qui découle de la construction de \mathbb{Q})
      si b ≠ 0 et d ≠ 0, \frac ab = \frac cd \iff ad=bc
  • ordre
    si b > 0, \frac ab et \frac cb sont dans le même ordre que a et c

Algorithme de la division

Cet algorithme sert à déterminer une écriture décimale du quotient de deux nombres entiers, qui se généralise au quotient de deux nombres décimaux

Dans certains cas, la division "ne se termine pas", ce qui signifie que l'algorithme itère à l'infini.

Dans ce cas, le quotient est un rationnel non décimal, et on peut prouver que son développement décimal admet une période, dont la longueur est strictement inférieure au diviseur.

Dans une division non exacte a\divb (a et b étant deux nombres entiers, b non nul), si on note qp et rp respectivement le quotient et le reste obtenus après p en poussant les itérations jusqu'à obtenir p chiffres après la virgule du quotient, on obtient un encadrement ou une égalité :

\frac ab \approx q_p à 10p près ou q_p <\frac ab < q_p+10^{-p}

et

\frac ab = q_p + \frac {r_p.10^{-p}}{b}

Un nombre irrationnel (réel, sans être rationnel) ne peut s'écrire sous forme de fraction, par définition.

Mathématiques et langue française

On peut diviser une entité en un nombre de parties dont l'addition donne cette entité, par un moyen implicite ou explicite.

Ainsi, on peut :

  • diviser un gâteau en deux parts, par un coup de couteau
  • simplement diviser un gâteau en deux [parts, par un moyen quelconque]
  • diviser 1 en 2 demis, par la représentation mentale mathématique que l'on s'en fait
  • simplement diviser 1 en 36ème
  • etc.

On peut également diviser par dichotomie ou par malice, mais diviser par 2 est un concept mathématique.
\frac ab = c : « a divisé par b est égal à c ».

Voir aussi

  • Divisibilité
  • Division euclidienne
  • Division par zéro
  • Fraction
  • Modulo
  • Multiplication
Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../d/i/v/Division.html »

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