Obtention de la section conique par la projection de deux sphères de diamètres distincts.

Selon la définition donnée par Euclide dans ses Éléments, la géométrie serait la science mathématique des figures dans le plan et des volumes (les corps, au sens classique) dans l’espace. Cette acceptation, valable durant l'Antiquité et le Moyen Âge, ne l'est plus aujourd’hui. Du fait de la diversification des domaines mathématiques, il est devenu difficile de donner une définition exacte de la géométrie. Aujourd'hui, la géométrie se divise en de nombreuses branches :

• Géométrie euclidienne : extension de la géométrie classique issue de l'étude grecque ;
• Géométrie différentielle : extension de l'étude des surfaces faisant fortement appel à l'analyse ;
• Géométrie algébrique : extension de l'étude des quadriques faisant fortement appel à l'algèbre ;
• Géométrie non commutative : extension de l'étude des algèbres d'opérateurs faisant fortement appel à l'analyse fonctionnelle.

Selon Eric Temple Bell, la géométrie est « une maison riche de choses intéressantes et à moitié oubliées qu'une génération entière n'a pas le temps d'apprécier, plus riche que toute autre division des mathématiques »^[1].

Histoire de la géométrie

Origine probable

L'origine de la géométrie, comme l'origine de la science, est sujette à discussion suivant son acception. Traditionnellement, les premiers travaux de géométrie remontent à la Grèce antique. En effet, les Éléments d'Euclide sont incontestablement la première formulation axiomatique de la géométrie.

Des questions de géométrie, motivées par la topographie et les besoins de l'agriculture, ont cependant précédé la civilisation grecque. Ainsi, les pyramides égyptiennes et les plans d'irrigation témoignent-ils d'une connaissance du moins empirique des figures planes et des solides. La tablette pré-babylonienne YBC 7289 datant de -1700 ± 100 témoigne des premiers questionnements sur le calcul des longueurs et donne une bonne approximation de la longueur de la diagonale d'un carré.

Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, texte fondamental des connaissances de la civilisation chinoise, offrent des calculs d'aires et de volumes, et une formulation du théorème de Pythagore. La découverte de la tablette de Plimpton 322 tend à montrer que le théorème de Pythagore était vraisemblablement connu de la civilisation sumérienne 1000 ans avant Pythagore.

Héritage grec

Thalès de Milet et Pythagore sont connus pour être parmi les premiers à développer un raisonnement hypothético-déductif et s'interroger sur la valeur des raisonnements^{[réf. nécessaire]}. On attribue généralement à Thalès l'égalité des angles opposés, l'égalité des angles à la base d'un triangle isocèle, l'étude des angles inscrits et le théorème de Thalès. On attribue aux pythagoriciens la preuve du théorème dit de Pythagore, et la figuration des nombres entiers.

Platon introduit les cinq solides dits platoniciens : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, l'isocaèdre et le dodécaèdre. Les proportions et l'incommensurabilité sont introduites par Euxode. Euclide résume dans ses Eléments de manière précise et rigoureuse les principaux travaux connus à son époque en géométrie. Mais ce traité ne comprend pas le calcul des aires et des volumes.

Les questions de constructions à la règle et au compas se posèrent ; en particulier, les problèmes de la trisection de l'angle, de la quadrature du cercle, et de la duplication du cube. Ce dernier incite Ménechme à introduire les coniques.

Apport des arabes

Outre la traduction des textes grecs à travers laquelle l'Europe reconstruit l'héritage grec, les mathématiciens de langue arabe ont fortement développé la trigonométrie. On leur attribue les fonctions trigonométriques introduites par Nasir Al-Din Al-Tusi, la formule d'Al Kashi, des approximations poussées de Pi, etc.

Les mathématiciens de langue arabe ont été les premiers à appliquer une approche algébrique pour paramétrer les courbes, et à résoudre des problèmes de géométrie en faisant appel à l'algèbre polynomiale. Ils sont ainsi considérés parfois comme les précurseurs de la géométrie algébrique.

Géométrie analytique

Géométrie non euclidienne

Jusqu'au XVIII^e siècle n'était étudiée qu'une géométrie, fondée sur les axiomes d'Euclide, et qui était considérée comme la géométrie véritable de l'espace physique. La découverte de géométries non euclidiennes par Gauss, Lobatchevsky, Bolyai modifia complètement cette appréhension de l'espace absolu.

Différents types de géométries prirent alors leur autonomie : géométrie hyperbolique, géométrie elliptique, chacune s'appuyant sur un modèle différent d'espace. Plus important encore que les modèles permettant la réalisation concrète d'une géométrie, est le jeu d'axiomes auquel on peut la ramener.

Programme d'Erlangen

La géométrie au XX^e siècle

Grands débats concernant la géométrie

La vérité de la géométrie euclidienne

En liaison avec la physique, la géométrie permet de faire des calculs théoriques et donc de prédire des événements, du type « jusqu'à quelle pression mon réservoir va-t-il résister » ; on peut donc réduire le nombre d'essais concrets, d'expériences (on ne va construire qu'un seul réservoir et le tester, plutôt que de procéder par tâtonnement en essayant plusieurs types de réservoirs). Elle a en fait permis la naissance de la mécanique, c'est-à-dire de l'étude des mouvements des objets (trajectoire, vitesse) et de leur déformation (notamment résistance des matériaux et répartition des forces dans un assemblage).

La géométrie peut être considérée comme une théorie physique. Il s’agit principalement des positions observables de corps rigides. Cette interprétation expérimentale des vérités géométriques pose quelques difficultés techniques, parce que les lignes droites sont infiniment longues et fines, et qu’elles ne peuvent donc pas être observées. Mais la définition d’une ligne droite à partir de l’ensemble des positions possibles d’un corps rigide et la notion technique de précision de la mesure donnent un sens expérimental univoque aux théorèmes géométriques. Des expériences, avec une feuille de papier et un compas par exemple, peuvent alors prouver que certains théorèmes sont vrais. Il faut seulement faire attention aux effets de la dilatation thermique. Mais ces vérités expérimentales ne sont pas des vérités au sens mathématique, parce qu’elles pourraient être fausses dans un autre univers, ou si les lois de notre univers changeaient, ou même dans notre univers avec les mêmes lois si les procédures expérimentales étaient modifiées. De ce point de vue, les théorèmes géométriques sont seulement des vérités hypothétiques. Certains axiomes sont évidents mais cela veut seulement dire qu’ils sont en accord avec les expériences quotidiennes sur les corps rigides.

Du fait des limites de la précision de la mesure, on peut trouver des théorèmes vrais au sens expérimental, c’est-à-dire qu’ils sont en accord avec les observations, mais faux au sens mathématique. Mais dans ce cas, des expériences plus précises pourraient en montrer la fausseté.

La vérité au sens expérimental, cela veut dire ici qu’il y a un monde réel, qu’il contient des corps rigides, et qu’une phrase est vraie si et seulement si les corps rigides sont réellement comme elle le dit.

La géométrie peut aussi être considérée comme une théorie sur des êtres abstraits, idéaux, mathématiques. Alors sa vérité ne dépend plus des expériences. Un théorème est vrai lorsque les êtres abstraits sont idéalement comme il le dit. On peut alors définir la vérité mathématique comme une vérité à propos d’un monde virtuel, idéal, possible (voir Théorie des modèles et ci-dessous, la géométrie et le développement des projets).

Controverse des géométries analytique et synthétique

Au début du XIX^e siècle, quelques géomètres comme Gergonne ont exprimé une inquiétude, celle de voir disparaître la géométrie « pure », appelée aussi géométrie synthétique au profit de la géométrie analytique. Le reproche était que la géométrie analytique permet certes de démontrer une propriété à l'aide d'opérations sur les nombres dans un système de coordonnées, mais sans comprendre fondamentalement pourquoi cette propriété est vraie géométriquement. Une excellente illustration de cette controverse réside dans le problème des 3 cercles : « étant donnés 3 cercles du plan, construire les 8 cercles qui leur sont tangents ». Les partisans de la géométrie dite synthétique, à l'aide d'une démonstration élégante reposant uniquement sur des concepts de similitude et polarité, y voyaient l'emblème de leur supériorité sur les analytiques. Dans l'enseignement secondaire en France (et aussi dans d'autres pays), la géométrie synthétique a eu tendance à être supplantée par la géométrie analytique dans les années 1960-70, lors de la période dite des mathématiques modernes, avant d'effectuer un retour en tant que base de l'apprentissage du raisonnement.

Applications de la géométrie

Longtemps, géométrie et astronomie ont été liées. À un niveau élémentaire, le calcul des tailles de la lune, du Soleil et de leurs distances respectives à la Terre fait appel au théorème de Thalès^{[réf. nécessaire]}. Dans les premiers modèles du système solaire, à chaque planète était associé un solide platonicien. Depuis les observations astronomiques de Kepler, confirmées par les travaux de Newton, il est prouvé que les planètes suivent une orbite elliptique dont le Soleil constitue un des foyers. De telles considérations de nature géométrique peuvent intervenir couramment en mécanique classique pour décrire qualitativement les trajectoires.

En ce sens, la géométrie intervient en ingénierie dans l'étude de la stabilité d'un système mécanique. Mais elle intervient encore plus naturellement dans le dessin industriel. Le dessin industriel montre les coupes ou les projections d'un objet tridimensionnel, et est annoté des longueurs et angles. C'est la première étape de la mise en place d'un projet de conception industrielle. Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie.

La trigonométrie euclidienne intervient en optique pour traiter par exemple de la diffraction de la lumière. Elle est également à l'origine du développement de la navigation : navigation maritime aux étoiles (avec les sextants), cartographie, navigation aérienne (pilotage aux instruments à partir des signaux des balises).

Les nouvelles avancées en géométrie au XIX^e siècle trouvent des échos en physique. Il est souvent dit que la géométrie riemannienne a été initialement motivée par les interrogations de Gauss sur la cartographie de la Terre. Elle rend compte en particulier de la géométrie des surfaces dans l'espace. Une de ses extensions, la géométrie lorentzienne, a fourni le formalisme idéal pour formuler les lois de la relativité générale. La géométrie différentielle trouve de nouvelles applications dans la physique post-newtonienne avec la théorie des cordes ou des membranes.

La géométrie non commutative, inventée par Alain Connes, tend à s'imposer pour présenter les bonnes structures mathématiques avec lesquelles travailler pour mettre en place de nouvelles théories physiques.

Références

Ouvrages de vulgarisation

Ouvrages généralistes

Notes et références

Voir aussi

Wikilivres propose un ouvrage abordant ce sujet : Géométrie.

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