Le Wiktionnaire possède une entrée pour « implication ».

L'implication est :

• la conséquence logique d'un fait ;
• une opération mathématique logique ;
• le fait pour une personne de s'investir dans une cause ou une action.

Opération logique d'implication

En mathématiques, une proposition P implique logiquement une proposition Q, si la proposition ¬PouQ est vraie, et nous écrivons :

P=>Q

ce qui se lit « P implique Q »

« => » s’appelle connecteur d’implication.

« P=>Q » s’appelle une implication logique.

La table de vérité de l’implication est donnée par le tableau :

Mais attention « P implique Q », ne signifie pas que « Q est une conséquence logique de P ». Par exemple : « (0=1) => (0=0) » est vraie, mais (0=0) ne se déduit pas de (0=1) qui est fausse.

En fait, « P=>Q » est vraie d'après la table de vérité si P est fausse ou Q est vraie.

Par exemple :

« 4 est divisible par 3 implique 4=3 » est une implication vraie (car P est fausse)

« Louis XVI était hollandais implique 0=0 » est vraie (car Q est vraie)

Par conséquent, si P est fausse alors l’implication P=>Q est vraie ; et donc toutes les implications que nous écrirons à partir d’une proposition fausse seront vraies !! (« on dit d'ailleurs qu’à partir du faux on peut démontrer n’importe quoi »)

En pratique on démontrera que l'implication P=>Q est vraie en montrant que si P est vraie, alors Q est vraie.

En fait la déduction directe de Q à partir de P est représentée par l’implication toujours vraie (tautologie):

(P et (P=>Q)) =>Q

Si dans certaines conditions, P est vraie ainsi que P⇒Q, alors l’implication précédente montre que Q est vraie.

Dans le langage naturel, pour traduire que P implique Q, nous dirons indifféremment :

• P entraîne Q
• P est une condition suffisante de Q
• Q est une condition nécessaire de P
• Pour que Q soit vraie il suffit que P soit vraie
• Pour que P soit vraie il faut que Q soit vraie

Ajoutons que d’autres formulations de la langue française représentent des implications :

• « Si… alors… »
• « … donc… »
• « … d’où… »
• « … ainsi… »
• « de…, nous déduisons que… »
• « … par conséquent… »

Propriétés

Soient P, Q et R trois propositions.

• P ⇒P (l’implication est réflexive)
• ((P ⇒Q ) ∧ (Q⇒R )) ⇒ (P ⇒ R ) (transitivité de l'implication ou loi du syllogisme)
• (¬(P ⇒ Q )) ⇔ (P ∧ (¬Q )) (négation d'une implication)
• (P ∧ (P ⇒ Q )) ⇒ Q (règle de déduction directe ou du détachement)
• (P ⇒ Q ) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P ) (loi de contraposition)
  

une implication est équivalente à sa contraposée

• (P ⇔ Q ) ⇔ ((P ⇒ Q ) ∧ (Q ⇒ P )) (loi de réciprocité)
• ((P ou Q) ∧ (P ⇒ R ) ∧ (Q ⇒ R )) ⇒ R (disjonction des cas)

L’implication n’est pas associative

Soient P, Q et R trois propositions.

• ((P ⇒ Q ) ⇒ R ) ⇎ (P ⇒ (Q ⇒ R ))

En effet le premier terme énonce qu'une implication implique R alors que le second énonce que P implique une implication.

Donnons un contre-exemple:

Considérons les trois propositions suivantes :

• P: (-1=0)
• Q: (0=0)
• R: (0=1)

La proposition P ⇒ Q est vraie puisque Q est vraie, et comme R est fausse, la proposition (P ⇒Q) ⇒ R est fausse.

La proposition Q est vraie et la proposition R est fausse donc l’implication (Q ⇒ R) est fausse et comme P est fausse, l’implication P ⇒( Q ⇒ R ) est vraie.

Nous en déduisons qu’en général les propositions P ⇒( Q ⇒ R ) et (P ⇒Q) ⇒ R ne sont pas équivalentes et donc l’implication n’est pas associative.

Il nous est donc impossible d’écrire des chaînes d’implications de la forme :

P₁ ⇒ P₂ ⇒ P₃ ⇒ … ⇒ P_n-1 ⇒ P_n

C’est la raison pour laquelle, nous disposons dans la pratique, les implications de cette façon :

ce qui signifie que les implications :

P₁ ⇒ P₂, ..., P_n-1 ⇒ P_n

sont vraies, et nous utilisons la transitivité de l’implication pour démontrer que:

P₁ ⇒ P_n.

Remarque

Dans une théorie mathématique, les implications P ⇒ Q vraies démontrées à partir des axiomes sont appelées théorèmes.

Démontrer un théorème, c’est établir qu’une proposition de la forme P ⇒ Q est une assertion vraie (dans la théorie).

Pour démontrer de tels théorèmes, il existe plusieurs types de raisonnements possibles, basés sur les propriétés précédentes de l’implication :

• la déduction directe
• la déduction par exclusion (ou incompatibilité)
• le raisonnement par contraposée (aussi le raisonnement par l'absurde)

Quelques exemples

Implication et équivalence

Voici un exemple de relation d'implication : « il fait beau » ⇒ « je suis heureux ». Cette proposition est vraie si je suis toujours heureux quand il fait beau.

A ne pas confondre avec la relation d'équivalence qui elle implique que je ne soit heureux QUE lorsqu'il fait beau.

• La relation d'implication représente le SI (⇒) une condition suffisante dans un sens, une condition nécessaire dans l'autre : dans A ⇒ B, A est une condition suffisante de B, et B est une condition nécessaire de A
  — et —
• la relation d'équivalence représente le SI ET SEULEMENT SI (⇔), une condition nécessaire et suffisante ;
  A ⇔ B équivaut à (A ⇒ B) ET (B ⇒ A)

voir aussi : Propriété contraposée

Remarque importante

En dépit de sa notation (=>) qui suggère une relation de cause à effet, l'implication logique n'a pas de caractère chronologique comme l'ont une cause et un effet. Le temps ne joue pas de rôle, et n'a pas même besoin d'être défini, lors de l'examen d'une relation d'implication.

Divers

La table de vérité de l'implication était connu dès la Grèce antique, notamment par les stoïciens : « Du vrai suit le vrai... Du faux suit le faux... Du faux suit le vrai... Mais du vrai, le faux ne peut s'ensuivre »^[1].

Liens internes

• Équivalence logique
• Logique (mathématiques)
• Modus ponens
• Modus tollens

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Notes et références