Définition

En mathématiques, un monoïde est une structure algébrique consistant en un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et d'un élément neutre. Un monoïde est donc un magma associatif et unifère.

En d'autres termes, est un monoïde si :

1. (loi de composition interne)
2. (associativité)
3. (élément neutre)

On trouve aussi parfois une définition d'un monoïde où l'existence d'un élément neutre n'est pas requise.

Un monoïde E est dit simplifiable à gauche, ou encore régulier à gauche, (resp. à droite) si

(resp. )

Si A est un alphabet fini, l'ensemble des mots sur A est noté A*. Muni de la concaténation, c'est un monoïde que l'on appelle monoïde libre sur A. Son élément neutre est le mot vide. De manière générale, un monoïde est dit libre s'il est isomorphe à l'ensemble des mots sur un alphabet fini, muni de la concaténation. On appelle alors ensemble des générateurs libres du monoïde l'image de l'alphabet par l'isomorphisme. Cet ensemble est unique, et deux monoïdes libres sont isomorphes si et seulement s'ils ont le même nombre de générateurs libres. Notons l'existence de monoïdes non libres. Il suffit par exemple de considérer le monoïde multiplicatif des entiers naturels.

Sous-Monoïde

Un sous-monoïde d'un monoïde de est un sous ensemble de verifiant:

1. (stable)
2. 

Exemples

• L'ensemble des entiers naturels, muni de l'addition, est un monoïde, dont 0 est l'élément neutre ;
• L'ensemble des entiers naturels, muni de la multiplication, est un monoïde d'élément neutre 1. 0 q'est pas simplifiable  ;
• L'ensemble des parties d'un ensemble E, muni de l'union ensembliste, est un monoïde, dont l'ensemble vide est l'élément neutre. Le même ensemble muni de l'intersection ensembliste est aussi un monoïde dont E est l'élément neutre.
• L'ensemble des entiers naturels muni de la loi Max qui a deux entiers associe le plus grand des deux est un monoïde de neutre 0.
• La deuxième loi d'un anneau possède une structure de monoïde. Beaucoup de propriétés des anneaux en découlent, notamment l'étude des Anneaux factoriels.

Morphisme de monoïde

• Soit (E, * ,e) et (F,T,f) deux monoïdes. on appelle morphisme de (E, * ,e) vers (F, * ,f) toute application de E vers F telle que

La première propriété est celle de morphisme de loi ou morphisme de magma.

• La composée de deux morphisme de monoïde est un morphisme de monoïde.
• La réciproque de tout morphisme bijectif de monoïde est un morphisme de monoïde. En conséquence, un morphisme bijectif est qualifié d'isomorphisme.
• L'image d'un élément idempotent par un morphisme de monoïde est un élément idempotent.
• Si on munit l'ensemble des entiers naturels de la loi Max, l'application est un morphisme de loi mais n'est pas un morphisme de monoïde.
• Tout morphisme de loi d'un monoïde vers un groupe est un morphisme de monoïde.
• L'image d'un sous-monoïde par un morphisme de monoïde est un sous-monoïde. En particulier l'image d'un morphisme de monoïde est un sous-monoïde.

• On appelle noyau d'un morphisme de monoïde l'ensemble des antécédents de l'élément neutre.

Attention, il n'y a pas de lien clair entre noyau et injectivité lorsque le monoïde n'est pas un groupe. Par exemple, l'application est un endomorphisme du monoïde des entiers naturels muni de la loi Max.

• L'image réciproque d'un sous-monoïde par un sous-monoïde est un sous-monoïde. En particulier le noyau d'un morphisme de monoïde est un sous-monoïde.

Produit direct de monoïdes

• Soit et deux monoïdes. on peut munir le produit cartésien et d'une structure de monoïde en introduisant une nouvelle loi de la façon suivante :

.

C'est un monoïde de neutre

• Les deux projections de dans et de dans sont des morphismes de monoïde. Et le triplet vérifie la propriété universelle du produit direct.

• Plus généralement, soit I un ensemble et une famille de monoïde. On construit la structure de produit direct sur le produit cartésien par la formule

.

Symétrique d'un élément

Voir l’article élément symétrique.

• Soit (E, * ,e) un monoïde et soit x un élément de E. On dira que

1. x est symétrisable à droite si et seulement si il existe un élément y dans E tel que x * y = e. On dit alors que y est un symétrique à droite de x.
2. x est symétrisable à gauche si et seulement si il existe un élément z dans E tel que y * x = e. On dit alors que y est un symétrique à gauche de x.
3. x est symétrisable si et seulement si x est symétrisable à droite et à gauche.

• Lorsque x est symétrisable il admet un unique symétrique à droite et un unique symétrique à gauche et ceux-ci sont égaux. Cet unique élément est appelé symétrique de x.

En effet, c'est une conséquence de l'associativité, avec les notations ci-dessus y = e * y = (z * x) * y = z * (x * y) = z * e = z

• Le symétrique de x est généralement noté x ^{− 1}. On le note parfois lorsque la loi est commutative, c'est notamment le cas avec la multiplication des nombres réels. On le note − x lorsque la loi du monoïde est noté + .

Le symétrique est souvent appelé inverse, c'est notamment le cas pour les multiplications. Le symétrique pour les additions est appelé opposé.

• Si x et y sont symétrisables, il en est de même de x * y et on a (x * y) ^{− 1} = y ^{− 1} * x ^{− 1}.

On vérifie (x * y) * (y ^{− 1} * x ^{− 1}) = x * (y * y ^{− 1}) * x ^{− 1} = x * e * x ^{− 1} = x * x ^{− 1} = e grâce à l'associativité et on fait de même à gauche.

• L'ensemble des éléments symétrisables d'un monoïde forme un groupe.

Itération

Voir l’article itération.

Le monoïde est un cadre propice pour définir les l'itération d'un élément.

Applications

En mathématiques, il est rare d'utiliser les monoïdes ; car souvent, lorsqu'une structure est trop pauvre en termes de propriétés pour pouvoir continuer son étude, elle se trouve plongée dans une structure plus riche, comme les groupes, ou les anneaux... Les entiers naturels en sont un exemple frappant : pour les étudier, on étudie les entiers relatifs, qui eux forment un groupe, et mieux, un anneau factoriel !

En informatique théorique, les monoïdes et plus particulièrement le monoïde libre sont parmi les structures les plus utilisées, notamment dans la théorie des codes et dans la théorie des langages.

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